Це питання стосується не безпосереднього віднімання коренів (обчислити різність двох чисел можна і не вдаючись до послуг інтернету, та й замість «віднімання» записують «різність»), а обчислення вирахування кореня, більш точно в корені. Тема належить до теорії функції комплексних змінних (ТФКП)
.Еслі ФКП f (z) є аналітичною в кільці
0Еслі всі коефіцієнти головної частини ряду Лорана дорівнюють нулю, то особлива точка z0 називається усунутою особливою точкою функції. Розкладання в ряд Лорана в цьому випадку має вигляд (рис. 1b). Якщо головна частина рядка Лорана містить кінцеве число k доданих, особлива точка z0 називається полюсом k-го порядку функції f (z). Якщо головна частина ряду Лорана містить нескінченне число членів, то особлива точка називається істотною особливою точкою функції f
(z) .П^ 1. Функція w = (z-2 )/[ ((z-3) ^ 2) z ((z + 1) ^ 3)] має особливі точки: z = 3- полюс другого порядку, z = 0 полюс першого порядку, z = -1 - полюс третього порядку. Зверніть увагу, що всі полюси знайдені шляхом знаходження коріння рівняння
((z-3) ^ 2) z ((z + 1) ^ 3) = 0. Вирахуванням аналітичної функції (z) в виколотою околиці точки z0 називають коефіцієнт з (-1) в розкладанні функції в ряд Лорана. Позначається res [f (z), z0]. Враховуючи формулу обчислення коефіцієнтів ряду Лорана, зокрема, коефіцієнта з (-1) виходить (див. рис. 2). Тут порожній - деякий кусково-гладкий замкнутий контур, що обмежує односв'язну область, що містить точку z0 (наприклад, коло малого радіусу
з центром у точці z0), і лежить у кольце0Отже, для знаходження вирахування функції в ізольованій особливій точці слід або розкласти функцію в ряд Лорана і визначити з цього розкладання коефіцієнт з (-1), вирахування, обчислення. Існують й інші способи обчислення вирахувань. Так, якщо точка z0 є полюсом порядку k функції f (z), то вирахування в цій
точці обчислюється за формулою (див. рис.3) .Если функція f (z) = (z )/^ (z), где (z0) 0, а (z) має простий корінь (кратності один) в z0, то "(z0) 0 і z0 є простим полюсом f (z). Тоді res [f (z), z0] = (z0 )/^ "(z0). З цього правила досить наочно випливає висновок. Перше, що робиться при знаходженні особливих точок - це знаменника. (z).
