Про те, що таке периметр, кожен з нас дізнався ще в молодших класах. Знаходженням сторін квадрата при відомому периметрі проблем зазвичай не виникає навіть у тих, хто закінчив школу давно і встиг забути курс математики. Однак вирішити аналогічну задачу щодо прямокутника або прямокутного трикутника вдається без підказки не всім.
Як вирішити завдання з геометрії, в умові якої наведені тільки периметр і кути? Звичайно, якщо мова йде про гострокутний трикутник або багатокутник, то таке завдання без знання довжини однієї зі сторін вирішити неможливо. Однак, якщо мова йде про прямокутний трикутник або прямокутник, то по заданому периметру можна знайти його сторони. Прямокутник має довжину і ширину. Якщо провести діагональ прямокутника, можна виявити, що вона розбиває прямокутник на два прямокутні трикутники. Діагональ є гіпотенузою, а довжина і ширина - катетами цих трикутників. У квадрата, який є приватним випадком прямокутника, діагональ є гіпотенузою прямокутного рівнобедреного трикутника.
Припустимо, що є прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c, у якого один з кутів дорівнює 30, а другий 60. Малюнку видно, що a = c * sin?, а b = c * cos?. Знаючи, що периметр будь-якої фігури, в тому числі і трикутника, дорівнює сумі всіх його сторін, отримуємо:a + b + c = c * sin? + c * cos + c = pЗ цього виразу можна знайти невідому сторону c, яка є гіпотенузою для трикутника. Так як кут? = 30, після перетворення отримаємо:c * sin? + c * cos? + c = c/2 + c * sqrt (3 )/2 + з = рОтсюда випливає, що c = 2p/[ 3 + sqrt (3)] Відповідно a = c * sin? =
p/[ 3 + sqrt (3)], b = c * cos? = p * sqrt (3 )/[ 3 + sqrt (3)]; 3] як вже сказано на трикутний (3))) Оскільки периметр прямокутника дорівнює p = 2 (a + b), ширину a і довжину b прямокутника можна знайти, виходячи з того, що діагональ є гіпотенузою
прямокутних трикутників:a = p-2b/2 = p [3- sqrt (3) ]/2 [3 + sqrt (3)] b = p-2a/2 = p [1 + sqrt (3) ]/2 [3 + sqrt (3)] Ці два рівняння виражені через периметр прямокутника. За ними обчислюються довжина і ширина цього прямокутника з урахуванням отриманих кутів при проведенні його діагоналі.
