За визначенням, точка М0 (x0, y0) називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції двох змінних = f (x, y), якщо в деякій околиці точки U (x0, у0), для будь-якої точки M (x, y) виконано f (x, y) f (x0, y0)). Ці точки називаються екстремумами функції. У тексті приватні похідні позначаються відповідно до
рис. 1.Необхідною умовою екстремуму є рівність нулю приватних похідних по x і по y. Точка M0 (x0, y0), в якій в нуль звертаються обидві приватні похідні, називається стаціонарною точкою функції
z = f (x, y). Приватні похідні функції z = f (x, y) можуть не існувати в точці екстремуму, тому точками можливого екстремуму є не тільки стаціонарні точки, але і точки, в яких приватні похідні не існують (їм відповідають гострія поверхні
- графіка функції) .Тепер можна перейти до достатніх умов наявності екстремума. Якщо диференційована функція має екстремум, то він може бути тільки в стаціонарній точці. Достатні умови екстремуму формулюються наступним чином: нехай у певній околиці стаціонарної точки (x0, y0) функція f (x, y) має безперервні приватні похідні другого порядку.
Наприклад: (див. Ризи.2) Тоді: а) якщо Q > 0, то в точці (x0, y0) функція має екстремум, причому при f «» (x0, y0) 0) -
локальний мінімум; б) якщо QДля відшукання екстремуму функції двошвидше запропонувати таку схему: спочатку знаходяться стаціонарні точки функції. Потім у цих точках перевіряються достатні умови екстремуму. Якщо функція в якихось точках не має приватних похідних, то в цих точках теж може бути екстремум, але достатні умови
вже не будуть застосовані. Приклад. Знайти екстремуми функціїz = x 3 + y 3-xy.Решені. Знайдемо стаціонарні
точки функції (див. рис. 3):Вирішення останньої системи дає стаціонарні точки (0, 0) і (1/3, 1/3). Тепер необхідно перевірити виконання достатньої умови екстремуму. Знайдіть другі похідні, а також стаціонарні точк
и Q (0,0) і Q (1/3, 1/3) (див. рис 4):Так як Q (0, 0) 0, отже, в точці (1/3, 1/3) екстремум є. З урахуванням того, що друга похідна (по xx) в (1/3, 1/3) більше нуля, необхідно прийняти рішення, що ця точка є мінімумом.
