Створення рівняння площини за трьома точками ґрунтується на принципах векторної та лінійної алгебри, що використовують поняття колінеарності векторів і також векторні прийоми побудови геометричних ліній. Вам знадобтеся Відкрийте
підручник з геометрії на главі «Вектори» і повторіть основні принципи векторної алгебри. Для побудови площини за трьома точками потрібно знання таких тем, як лінійний простір, ортонормований базис, колінеарність векторів, а також розуміння принципів лінійної алгебри.
Згадайте, що через три задані точки, якщо вони не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину. Це означає, що наявність трьох конкретних точок у лінійному просторі вже однозначно визначає єдину площину.
Вкажіть три точки, які мають різні координати у тривимірному просторі. x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3. Буде використовуватися загальне рівняння площини, що передбачає популярність якоїсь однієї точки, наприклад, точки з координатами x1, y1, z1, а також знання координат нормального до даної площини вектора. Таким чином, загальний принцип побудови площини буде полягати в тому, що скалярний твір будь-якого вектора, що лежить в площині, і нормального вектора має бути дорівнює нулю. Звідси і виходить загальне рівняння площини a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0, де коефіцієнти a, b і c - це компоненти вектора, перпендикулярної
площини. Як вектор, що лежить в самій площині, можете взяти будь-який вектор, побудований на будь-яких двох точках з тих трьох, що відомі спочатку. Координати цього вектора матимуть вигляд (x2-x1), (y2-y1), (z2-z1). Відповідний вектор можна назвати
m2m1.Визначте нормальний вектор n за допомогою векторного твору двох векторів, що лежать в даній площині. Як відомо, векторний твір двох векторів - це завжди вектор, перпендикулярний обом векторам, за якими він будується. Таким чином, можна отримати новий вектор, перпендикулярний всій площині. Як два вектори, що лежать в площині, можна взяти будь-який з векторів m3m1, m2m1, m3m2, побудованих за тим же принципом, що і
вектор m2m1.Знайдіть векторний твір векторів, що лежать в одній площині, визначивши таким чином нормальний вектор n. Пам'ятайте, що векторний твір - це, фактично, визначник другого порядку, перший рядок якого містить орти i, j, k, другий рядок - компоненти першого вектора векторного твору, а третій - компоненти другого вектора. Розкривши визначник, ви отримаєте компоненти вектора n, тобто a, b і с, які і задають площину.
