Аксиомы и аксиоматизация - это важные инструменты познания. Им сопутствуют иллюзии, знание которых, возможно, избавит исследователей от попыток применения инструментов там, где от них нет никакой пользы.
При слове "аксиома", обычно вспоминаются аксиомы геометрии Эвклида как образец для подражания и как убедительная причина введения такого понятия. Однако для других наук попытки подражания закончились крахом (есть, правда, и иные мнения). А один из постулатов Эвклида, якобы не требующий доказательств, почему-то две тысячи лет будоражил умы математиков и упорно требовал этих доказательств.
Что-то явно не заладилось в распространении удачного опыта из геометрии. Впрочем, неудачи подтолкнули к развитию таких важнейших разделов математики как теория множеств и логика, которые многое объяснили, но в свою очередь поставили еще больше новых вопросов и завели дело в дебри абстракций, недоступных для понимания в других науках.
В математике аксиомы - это обычно законы, которые управляют предельно простыми элементами - точками, не имеющими собственного строения. Если предполагаются особые элементы (как единичный в группе), то вся особенность опять же исчерпывается правилами работы с ними. Только в геометрии изначально вводятся элементы трех родов: точка, прямая, плоскость, но и здесь внутренняя структура элементов сводится к принадлежности точки - к прямой или плоскости, прямой - к плоскости. А вот физические, биологические, социальные объекты имеют практически неисчерпаемую собственную структуру, несводимую к одному или десятку известных законов, которые к тому же есть наше заведомо неточное и упрощенное знания о мире. Это радикальное отличие практически ставит крест на любом выходе аксиоматизации за пределы математики.
Конечно, можно объявить аксиомами постоянство скорости света, закон всемирного тяготения, закон Кулона, закон Менделя и т.д. Но тут же тысячи исследователей положат жизни на то, чтобы подправить эти законы, а то и вовсе их опровергнуть. А об автоматических следствиях из этих аксиом лучше и не мечтать. Все в мире относительно, имеет свои области распространения, и потому реально не встречается ничего такого, что было бы очевидно и не требовало объяснений.
Даже в физике при использовании самых строгих формул надо сначала проверить массу условий их применимости, а потом сравнить результаты с наблюдаемыми воочию явлениями. Например, простенькое дифуравнение показывает, что плотность атмосферы меняется с высотой по экспоненте. Но если бы это было точно так, то о прогнозах погоды следовало бы забыть. На реальное состояние атмосферы влияет множество факторов. Да и уравнение уже имеет неточность в том, что не учитывает поправки к газовым законам, а значит, надо хорошо подумать и проверить, насколько существенно упрощение.
Необходимо отметить, что широко распространены искаженные представления об аксиоматизации. Под ней часто понимают приведение знаний в порядок, при котором выделяются более и менее общие правила. В подобных случаях "аксиома" - это скорее литературный образ, без которого легко обойтись, поскольку он не предполагает наличие оригинального метода, который можно было бы назвать аксиоматическим. Просто есть некая иерархия закономерностей. Но чтобы одно однозначно вытекало из другого - такое реально не встречается. В указанном смысле приводить знания в порядок - это всегда полезное и нужное занятие. Просьба также не путать аксиоматизацию с поиском фундаментальных закономерностей, который в любой науке всегда есть важнейшая задача.
Есть еще понимание, можно сказать, из народных мечтаний, когда хочется загрузить один раз в мясорубку несколько ловких фраз или волшебных заклинаний, а потом как из рога изобилия получать всевозможные знания. Так вот это - точно иллюзия. Ничего подобного нет даже в математике.
Действительно, имеются случаи, когда из аксиом геометрии, аксиом банахова пространства, аксиом таких алгебраических объектов как группа, поле, кольцо - железно вытекают новые утверждения. Но все это очень частные случаи, а вся математика (в отличие от того, как некоторые думают) вовсе не аксиоматизирована. Она состоит из соглашений разной степени приемлемости (например, насчет аксиомы выбора, моделей чисел) и, как всякая другая наука, складывается из всевозможных школ и направлений, нередко противоречащих друг другу и охватить которые целиком черт ногу сломит. И сколь бы красивой и безупречной ни была какая-то система аксиом, всегда возникает вопрос: а нужна ли она вообще? Потому любая аксиоматика по определению требует обоснования своей полезности как минимум для самой математики, а не мешало бы и для практических нужд.
Еще существеннее, что в успешных случаях использования аксиом немедленно всплывают так называемые правила вывода, которые в свою очередь требуют массу новых аксиом, понятных даже далеко не всем математикам. Поэтому любою систему аксиом всегда сопровождает очень неприятный сюрприз: то, что из аксиом может вытекать, - вовсе не вытекает из них само собой. И мешок подставлять рано. Многовековой опыт показывает, что никакое обладание аксиомами не избавляет математиков от ошибок, и каждая новая теорема рождается в жестоких муках и среди гор брака. Геометрия Эвклида тоже появилась не в один день и, вероятнее всего, обобщает опыт многих поколений. Не обойтись без правил вывода и в других науках, иначе один исследователь из постоянства скорости света будет выводить существование Бога, а другой - его отсутствие.
Есть и более специфические трудности в геометрии Эвклида, и не только в ней. Она появилась при отсутствии корректного определения действительного числа, а значит, и понятий прямой линии, плоскости и т.д. Позже эти понятия были уточнены, но и сегодня широкое распространение победившей модели чисел вовсе не означает ее единственности и абсолютной истинности. Я уж не говорю о такой формальной "мелочи" как свойство независимости и непротиворечивости аксиом, которое тысячи лет было под сомнением даже для геометрии Эвклида. Кроме того, по сути неопределенным осталось основополагающее понятие множества, так что связанные с ним парадоксы до сих пор портят настроение специалистам и еще неизвестно чем обернутся в будущем. В других науках понятия еще более неточны, поскольку литературный язык - необходимое средство их определения.
Бурбакизм, который мыслился поначалу как торжество аксиоматизации в математике, на деле выявил еще один крайне неприятный сюрприз, закрывший многие пути для аксиоматизации, казавшиеся совершенно чистыми. Хотя и раньше не было секретом, что наука живет людьми, но только в XX веке во всей красе выявилось, как формализация знаний может приходить в прямое противоречие с их пониманием. Еще в советское время забота о детях в системе образования в виде насаждения аксиоматики обернулась непониманием геометрии со стороны любимых чад. Революции в структуре математических статей тоже не случилось, там по-прежнему ключевым и связующим является старое доброе средство: здравый смысл. Впрочем, не надо думать, что здравый смысл антинаучен. Наоборот, за ним стоят четкие логические правила, чувствуемые интуитивно (правда, не всеми и не всегда). Так что любые утверждения в принципе могут быть проверены. Беда только в том, что логика как наука слишком необъятна и сложна для понимания, а главное, она все равно не дает содержательных рецептов, как делать построения. Примерно так же ящик с инструментами не заменяет мастера.
В других науках мало знают о возне в математике и нередко по-прежнему лелеют ничем неоправданные надежды. На самом деле никакого рога изобилия нет ни в геометрии, ни вообще в математике. Тем более, не следует его ждать за их пределами. Новые знания нигде не падают с неба в виде мудрых изречений и автоматических следствий из них, а добываются упорным трудом, длительным исследованием, многочисленными экспериментами. Затем все добытое без конца уточняется, дополняется, подвергается сомнению, доказывается вновь и вновь. Потому в понятиях аксиомы и аксиоматизации лучше исходить из имеющегося опыта, а не выдавать желаемое за действительное и не гоняться за призраками.
Если кто-нибудь подскажет пример успешного аксиоматического подхода вне математики, то было бы полезно его обсудить. А пока приведу другие примеры, где очень напрашивается аксиоматический метод, но к сожалению ничего путного не выходит. Еще Д.И.Менделеев успешно прогнозировал свойства неизвестных к тому времени химических элементов. Поэтому Периодический закон так и просится в аксиому, из которой можно было бы выводить шикарные следствия. Но до сих пор дальше более или менее удачных прогнозов в этом направлении дело так и не пошло. Реально можно узнать свойства химического элемента, только обладая им самим. Наверное, геологи не станут возражать, что тектоника глобальных плит стала для них аксиомой, да только следствия из этой аксиомы не текут рекой, и ползания по горам и глуши не отменяются. Уж, кажется, программирование - самое подходящее место для введения стандартов и аксиом, ан-нет, там все запутано до умопомрачения. Законы Ньютона, дополненные законом всемирного тяготения, тоже просятся в качестве аксиом. Но чтобы выжать из них не только решение нескольких учебных задач, а что-то более существенное, например, законы Кеплера, - нужно дифференциальное и интегральное исчисление, которое практически не поддается аксиоматизации. Любая реальная проблема в физике и других науках, как и любой нетривиальный метод в математике, всегда обрастает таким множеством деталей, которое невозможно ограничить раз и навсегда. Еще труднее раскрыть законы общественной жизни. Уж сколько разработано экономических понятий и теорий, но каждый новый день полон неожиданностей. Какие бы договоры ни были подписаны и какие бы законы ни были приняты, человеческая мысль упорно ищет, как их обойти и провернуть новые невиданные доселе махинации. И представьте себе, находит! Как генералы готовятся к прошлой войне, так экономисты, финансисты и государственные деятели ставят заслон прошлому кризису. Новый кризис всегда оказывается неповторимым и неожиданным, поскольку человеческая мысль неистощима, особенно по части того, как что-нибудь урвать за чужой счет. Загнать беспредельность мысли в догмы и аксиомы - сомнительное и пока явно бесперспективное занятие. Н.В.Невесенко