П.Ферма (1601-1665) придумал и решил множество математических задач, но знаменит он стал не этим, а, наоборот, той задачей, с которой не справился сам, и над которой безуспешно бились математики и дилетанты в течение 300 лет. Это так называемая Великая теорема Ферма. На сегодня она считается решенной, но сам я не проверял и сильно сомневаюсь в существовании корректного доказательства.
Как показано в предыдущей статье, даже дотошные профессионалы иногда оказываются неспособны переписать без ошибок десяток чисел. Тем более, нереально сделать доказательство в сотню страниц. Еще хорошо, если ошибка выявится в 1-й же строчке, как нередко бывает даже в серьезных статьях. Гораздо хуже, если на изучение уйдут годы. А поскольку проверяльщики тоже могут ошибаться, то их старания мало что гарантируют.
Так что на проблему Ферма не стоит тратить время. Но есть весьма любопытная ставшая достоянием общественности задача от Ферма, которая поддается полной проверке, и на которой специалисты тоже умудрились напортачить.
В 1970 г. в журнале ""Техника - молодежи"" (N 4) была опубликована следующая заметка.
Увы, напечатанное в журнале решение неверно и именно в таком виде оно отметилось в последующей истории математики. Скорее всего, это вина не Ферма, а работников журнала, потерявших цифру в середине последнего числа.
Итак, задача Ферма состоит в нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, где гипотенуза есть квадрат целого числа, и сумма катетов есть квадрат некоторого целого числа.
Вообще, прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами известны с глубокой древности. Простейший из них: так называемый египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Он использовался на практике для получения прямого угла.
Сегодня, конечно, используются другие инструменты. И задача Ферма не представляет заметной научной или практической ценности. Но она часть нашей истории и по-прежнему интересна в учебном и спортивном плане, как и всякая добротная хитрая задачка.
Известен общий метод для составления прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Он основан на тождестве:
(a-b)**2 + 4ab = (a+b)**2
Для сторон приняты формулы: X=mm-nn,Y=2mn, Z=mm+nn, где m,n - натуральные числа.
При m=2 и n=1 получим египетский треугольник, при m=3 и n=1 треугольник со сторонами 8, 6, 10, но он мало интересен, поскольку получается удвоением сторон египетского. А вот при m=3 и n=2 получаются стороны 5, 12, 13. При m=4 и n=1 будет: 15, 8, 17.
Разумеется, выписанные здесь треугольники не годятся в качестве решения задачи Ферма, хотя бы потому, что их гипотенузы не являются квадратами целых чисел. Впрочем, пропорционально увеличивая все стороны, совсем нетрудно получать нужные гипотенузы. Например, треугольник: 15, 20, 25.
Гораздо труднее, но реально подобрать, чтобы сумма катетов была квадратом целого числа. Например, треугольник: 9, 40, 41. И еще: 133, 156, 205.
Но чтобы выполнить все требования задачи Ферма, простой перебор не поможет. Неудивительно, что коллеги Ферма не справились с задачей. Впрочем, Ферма дал только ответ, и неизвестно, как он умудрился найти его без ЭВМ.
Вот решение, еще в давние времена вычисленное и проверенное мною на компьютере, а также указанное в Википедии в статье ""Пифагорова тройка"":
X=1061652293520, Y=4565486027761, Z=4687298610289.
Наверняка, неудачники Френикль и Сен-Мартэн были в шоке. Ведь если искать эти три числа простым перебором, то и поныне никакая ЭВМ не осилит его ни в какие исторические сроки.
Сегодня найдены и другие решения, удивляющие гораздо большим количеством цифр. Известно также, что задача Ферма имеет бесконечно много решений.
Ферма не оставил после себя систематических исследований, он сообщал лишь результаты удивленным современникам. Возможно, поэтому он остался столь загадочной фигурой. Стоит все объяснить, и сразу становится скучно. Для сегодняшних специалистов задача Ферма не представляет трудностей в теоретическом и соответственно в вычислительном плане. Как принято говорить, задача решается элементарными методами. Но элементарные методы не отменяют громоздких вычислений, в которых на каждом шагу предоставляются широкие возможности наделать ошибок.
Наверняка, Ферма не мог увидеть численные решения из тысяч знаков. А мы теперь можем!
Вот очередные по размерам треугольники со взаимно простыми сторонами:
2)
X = 214038981475081188634947041892245670988588201 (45 цифр),
Y = 109945628264924023237017010068507003594693720,
Z = 240625698472667313160415295005368384723483849,
X+Y = a*a , Z = c*c
a= 17999572487701067948161 , c = 15512114571284835412957;
3)
X = 101090445912315611189797633103062269281831072658850463814345155519536067859788318450595485833321 (96 цифр),
Y = 90600415152500364825256074903956700803695382187386257981355501221895481526026353330711612866200,
Z = 135748714471099967645098303815413145183510604468779231285462871341558087008619938117875754653321,
a = 437825148963391521638828389137484882137402791039,
c = 368440923990671763222767414151367493861848396861;
4)
X = 463364435981466638655721606795402574490785034897443124170070240200671104946933926803365302534576258476492322816713177661024808525677009601280034178493297316385999153 (165 цифр),
Y = 704093322799308833776272853814930313676549030172246816105298509194049219955867268919807417417483602815295710263978203420907943571429370020707878980026592034112342096,
Z = 842884338294996678212228837815191418234428179249675666444859533148402499591532256435242317441040296075151069741561268252863830134704359471711958336290700625845640625,
a = 34168080993535113552180464917346868292958739991398355562578195440360113112814117057,
c = 29032470413228645503712143213832535500985227130245791625262982715784415755764157625;
5)
X = 1869389268...5499875521 (254 цифры),
Y = 5444606989...7060603200 (254 цифры),
Z = 5756592873...7850595521 (254 цифры);
6) 404869...648601, 429385...695720, 431289...163449 (361,362,362);
7) 145231...550953, 111626...644696, 112567...375625 (535,536,536);
8) 730881...476201, 189095...207000, 202728...976201 (687,688,688);
9) 233399...850161, 325748...165520, 400733...627889 (все по 859 цифр);
10) 671703...332801, 555262...366720, 871494...749249 (все по 1049 цифр);
...
100) 106526...011921, 843144...097200, 135855...531921 (цифр: 105258, 105257, 105258 соответственно).
Обычно в целочисленных уравнениях либо вовсе нет решений, либо есть решения во вполне приличных числах где-нибудь до 1000. И только в задаче Ферма в простейшем решении фигурируют числа в полтриллиона, а для очередного решения в 45 цифр даже специалисты не найдут названия без заглядывания в справочники.
Для сравнения, уравнение a^4+b^4+c^4=d^4 (сумма 4-х степеней чисел a,b,c равна 4-й степени числа d) имеет простейшее решение в целых числах всего-то до полумиллиона: a=95800, b=217519, c=414560, d=422481, найденное совсем недавно и 200 лет не поддававшееся решению ни на бумажке, ни на компьютерах. Причем согласно гипотезе Л.Эйлера (1769 г.) уравнение не должно было иметь решений. Исторически сложилось так, что первым осилил уравнение Н.Элкис в 1988 г., но он вышел на другое решение: a=2682440, b=15365639, c=18796760, d=20615673. Оба решения я проверил на компьютере подстановкой в уравнение.
Несмотря на элементарность, общая формула решений задачи Ферма громоздка, а доказательство тем более. О нем вкратце рассказано в комментарии.
А здесь уместно предположить, что П.Ферма пошел другим, естественным путем, используя упомянутые выше формулы для целочисленных прямоугольных треугольников:
X=mm-nn, Y=2mn, Z=mm+nn.
Так как от Z требуется быть квадратом целого числа, то получается уравнение mm+nn=cc, и снова можно применить указанные формулы:
m=pp-qq, n=2pq, c=pp+qq.
Числа p,q намного меньше. Это сильно сокращает перебор вариантов, дабы сделать X+Y квадратом целого числа. Простейшая пара (p,q)=(1469,84) выскакивает на машине мгновенно. Она и дает авторское решение задачи Ферма. Правда, следующую пару взаимно простых чисел
(p,q) = (123672266091, 14740596026)
компьютер простым перебором найдет только через тысячи лет.
А для очередной пары
(596892949105755111413019,
110271171656540412245450)
не хватит даже возраста Вселенной.
Вероятно, именно таким путем рационального перебора шел Ферма, но естественный путь завел в тупик. Поэтому, найдя одно решение, он не смог найти остальные. А если бы он имел общую формулу, то наверняка не упустил бы случая поудивлять современников огромными числами.