Мабуть, ви знаєте, що планети рухаються навколо сонця еліптичними орбітами. Але чому? Насправді, вони рухаються по кола в чотиримірному просторі. А якщо спроектувати ці кола на тривимірний простір, вони перетворюються на еліпси.
На малюнку площина позначає 2 з 3 вимірювань нашого простору. Вертикальний напрямок - це четвертий вимір. Планета рухається по колу в чотиримірному просторі, а її «тінь» у тривимірному рухається еліпсом.
Що ж це за 4-й вимір? Воно схоже на час, але це не зовсім час. Це такий особливий час, який тече зі швидкістю, назад пропорційною відстанню між планетою і сонцем. І щодо цього часу планета рухається з постійною швидкістю по колу в 4 вимірах. А в звичайному часі його тінь у трьох вимірах рухається швидше, коли вона знаходиться ближче до сонця.
Звучить дивно - але це просто незвичайний спосіб уявлення звичайної ньютонівської фізики. Цей спосіб відомий принаймні з 1980 року завдяки роботі математичного фізика Юргена Мозера. А я дізнався про це, отримавши на email роботу за авторством Джеспера Горансона під назвою «Симетрії в завданні Кеплера» (8 березня 2015).
Найцікавіше в цій роботі - такий підхід пояснює один цікавий факт. Якщо взяти будь-яку еліптичну орбіту, і повернути її в 4-мірному просторі, то ми отримаємо іншу допустиму орбіту.
Звичайно, можна обертати еліптичну орбіту навколо сонця і в звичайному просторі, отримуючи допустиму орбіту. Цікаво те, що це можна робити в 4-мірному просторі, наприклад, завужня або розширюючи еліпс.
У загальному випадку будь-яку еліптичну орбіту можна перетворити на будь-яку іншу. Всі орбіти з однаковою енергією - це кругові орбіти на одній і тій же сфері в 4-мірному просторі.
Завдання Кеплера
Припустимо, у нас є частинка, яка рухається за законом зворотних квадратів. Рівнянням її руху буде
де r - позиція як функція часу, r - відстань від центру, m - маса, а k визначає силу. Звідси можна вивести закон збереження енергії
для якоїсь константи E, залежної від орбіти, але не змінюваної з часом. Якщо ця сила буде тяжінням, k > 0, а на еліптичній орбіті E < 0. Зватимемо частинку планетою. Планета рухається навколо сонця, яке настільки важко, що його коливаннями можна знехтувати.
Будемо досліджувати орбіти з однією енергією E. Тому одиниці маси, довжини і часу можна прийняти будь-якими. Покладімо
m = 1, k = 1, E = -1/2
Это избавит нас от лишних букв. теперь уравнение движения выглядит как
а закон збереження говорить
Тепер, слідуючи ідеї Мозера, перейдемо від звичайного часу до нового. Назвемо його s і зажадаємо, щоб
Такий час йде повільніше по мірі видалення від сонця. Тому швидкість планети по віддаленню від сонця збільшується. Це компенсує тенденцію планет рухатися по мірі видалення від сонця більш повільно в звичайному часі.
Тепер перепишемо закон збереження за допомогою нового часу. Оскільки для похідних за звичайним часом я використовував точку, давайте будемо використовувати штрих для похідних за часом s. Тоді наприклад:
і
Використовуючи таку похідну, Горансон показує, що збереження енергії можна записати у вигляді
А це ні що інше, як рівняння чотиримірної сфери. Доказ буде пізніше. Зараз поговоримо про те, що це для нас означає. Для цього нам треба поєднати між собою координату звичайного часу t і просторові координати (x, y, z). Крапка
(t,x,y,z)
рухається в чотирьохмірному просторі по мірі зміни параметра s. Тобто, швидкість цієї точки, а саме
рухається по чотиримірній сфері. Це сфера радіусу 1 з центром в точці
(1,0,0,0)
Додаткові розрахунки показують інші цікаві факти:
і
t''' = -(t' — 1)
Це звичайні рівняння гармонійного осцилятора, але з додатковою похідною. Доказ буде пізніше, а поки подумаємо, що це означає. Словами це можна описати так: 4-мірна швидкість v здійснює прості гармонійні коливання навколо точки (1,0,0,0).
Але оскільки v в той же час залишається на сфері з центром в цій точки, то можна зробити висновок, що v рухається з постійною швидкістю по колу на цій сфері. А це передбачає, що середнє значення просторових компонент 4-мірної швидкості дорівнює 0, а середнє t дорівнює 1.
Перша частина зрозуміла: наша планета в середньому не відлітає від Сонця, тому її середня швидкість дорівнює нулю. Друга частина складніша: звичайний час t рухається вперед із середньою швидкістю 1 відносно нового часу s, але швидкість його зміни коливається синусоїдально.
Проінтегрувавши обидві частини
ми отримаємо
для якогось постійного вектора a. Рівняння говорить, що позиція r гармонійно осцилює навколо точки a. Оскільки a не змінюється з часом, це величина, що зберігається. Це називається вектором Лапласа - Рунге - Ленца.
Часто люди починають з закону зворотних квадратів, показують, що кутовий момент і вектор Лапласа - Рунге - Ленца зберігаються, і використовують ці збережені величини і теорему Нетер, щоб показати наявність 6-мірної групи симетрій. Для рішень з негативною енергією це перетворюється на групу поворотів в 4 вимірах, SO (4). Попрацювавши ще трохи, можна побачити, як завдання Кеплера пов'язане з гармонічним осцилятором у 4 вимірах. Це робиться через репараметризацію часу.
Мені більше сподобався підхід Гораснона, тому що він починається з репараметризації часу. Це дозволяє ефективно показати, що еліптична орбіта планети - це проекція кругової орбіти в чотиримірному просторі на тривимірний. Таким чином стає очевидною 4-мірна обертальна симетрія.
Горансон переносить цей підхід на закон зворотних квадратів у n-мірному просторі. Виходить, що еліптичні орбіти в n вимірюваннях - це проекції кругових орбіт з n + 1 вимірювань.
Він також застосовує цей підхід для орбіт з позитивною енергією, які являють собою гіперболи, і для орбіт з нульовою енергією (параболи). У гіпербол виходить симетрія груп Лоренца, а у парабол - симетрія груп Євкліда. Це відомий факт, однак примітно, як просто він виводиться за допомогою нового підходу.
Математичні деталі
Через велику кількість рівнянь я поставлю навколо важливих рівнянь рамки. Основні рівняння - збереження енергії, сила і зміна змінних, які дають:
Починаємо із збереження енергії:
потім використовуємо
щоб отримати
Трохи алгебри - і отримуємо
Це показує, що 4-мірна швидкість
залишається на сфері одиничного радіусу з центром в (1,0,0,0).
Наступний крок - взяти рівняння руху
і переписати його, використовуючи штрихи (похідні по s), а не точки (похідні по t). Починаємо з
і диференціюємо, щоб отримати
Тепер використовуємо інше рівняння для
і отримуємо
або
тому
Тепер добре б отримати формулу і для r ". Спочатку порахуємо
а потім продифференціюємо
Підключимо формулу для r «», дещо скоротиться, і ми отримаємо
Згадаймо, що закон збереження говорить
а ми знаємо, що t'= r. Тому,
і
Отримуємо
Оскільки t'= r, то виходить
як нам і потрібно.
Тепер отримаємо схожу формулу для r "'. Почнемо з
і продиффіренціюємо
Підключимо формули для r «і r»'. Дещо скорочується, і залишається
Проінтегруємо обидві частини і отримуємо
для якогось постійного вектора a. Це означає, що r гармонійно осцилює відносно a. Цікаво, що і вектор r і його норма r осцилюють гармонічно.
Квантова версія планетарної орбіти - атом водню. Все, що ми порахували, можна використовувати і в квантовій версії. Подробиці див. у Greg Egan, The ellipse and the atom.
Подробиці про історію цього завдання див. у John Baez, Mysteries of the gravitational 2-body problem.
І все це також має відношення до квантової фізики, суперсиметрії і йорданової алгебри!