Фахівці заслужено не люблять завдання і головоломки на співбесідах. Але ми просто любимо вирішувати такі завдання в своє задоволення. Ось що мені особисто не подобається, так це коли ти отримуєш правильну відповідь, але при цьому твоє рішення здається автору невірним. Хочу просто показати вирішення декількох популярних подібних завдань, які можна отримати в розумі і без складних розрахунків і зіставити їх з авторськими вірними.
Завдання 1. У країні, де люди хочуть, щоб у них були тільки діти-хлопчики, кожна сім'я продовжує народжувати дітей до тих пір, поки не народиться хлопчик. Якщо у них народжується дівчинка, вони заводять ще одну дитину. Якщо хлопчик, вони зупиняються. Яке співвідношення хлопчиків і дівчаток у такій країні? (Мається на увазі, що ймовірність народження хлопчика дорівнює ймовірності народження дівчинки, хоча, насправді, відношення 105:100)
Правильне вирішення даного завдання.
З імовірністю 1/2 буде одна дитина - хлопчик.
З імовірністю 1/4 буде дві дитини - дівчинка і хлопчик.
З імовірністю 1/8 буде три дитини - дві дівчинки і хлопчик.
…
З імовірністю 1/2 ^ n буде n дітей - (n-1) дівчаток і хлопчик.
Математичне очікування числа хлопчиків = 1
Математичне очікування числа дівчаток = 1/2 * 0 + 1/4 * 1 + 1/8 * 2 + 1/16 * 3 +...
Якщо суму цього ряду позначити через s, то легко отримати, що 2 * s - s = 1, s є 1, отже, співвідношення хлопчиків і дівчаток 50:50.
А тепер правильне рішення даного завдання.
Всі схеми в умові цього завдання для відведення очей. Є Великий Рандом, який дає хлопчика і дівчинку з однаковою ймовірністю, значить і співвідношення буде 50:50.
Якщо не переконливо, то поясню. Хтось грає мартінгал в казино, тобто ставить на колір, поки він не випаде, подвоюючи ставки. Від такої поведінки гравця (або гравців) рулетка все одно буде видавати однакову кількість чорних і червоних результатів, рівно, як і пологовий будинок.
Завдання 2. Дві фірми продавали каву за однаковою ціною і обсягом. Обидві одночасно провели акції: перша почала продавати на 15% більше кави, а друга на 15% дешевше. У кого кава стала купувати вигідніше?
Правильне вирішення даного завдання.
Якщо до акції 100 мл кави коштував 1 рубль, то після акції у першої фірми 100 мл кави почав коштувати 100 * (100/115), що приблизно дорівнює 87 копійкам, а у другої, очевидно, 85 або на дві копійки дешевше.
А тепер правильне рішення даного завдання.
Ділити на 115 в розумі мені, наприклад, важко. Тому можна замінити 15 на 50. У цьому випадку у другої фірми на рубль ми отримаємо в два рази більше кави, а у першої всього в півтора. Перехід від 15 до 50 законний на увазі лінійності відсотків.
Завдання 2-біс. Що вигідніше: внесок під 70% у валюті з інфляцією 60%, або під 80% у валюті з інфляцією 70%?
Завдання 3. Перед вами два однакових фужери. В одному з них вино, в іншому вода. Зачерпніть чайну ложку води і вилийте у фужер з вином. Як слід розмішайте. А потім зачерпніть чайну ложку отриманої суміші і вилийте у фужер з водою. Чого більше: вина у фужері з водою або води у фужері з вином?
Правильне вирішення даного завдання.
1. Припустимо, що у фужері 100 частин рідини, а в ложці - 10 частин
2. Беремо з фужера 10 частин води і переливаємо у фужер з вином і перемішуємо
3. У фужері з вином 110 частин рідини. А в ложці суміші з цього фужера по одній одинадцятій частині об'єму води і вина. Отже, в ложці суміші міститься 9 цілих і 1/11 частина вина і 10/11 частин води. Все це переливаємо у фужер з водою
4. Тепер у фужері з водою 90 цілих і 10/11 частин води і 9 цілих і 1/11 частину вина, що в сумі дає 100 частин рідини
5. У фужері з вином 90 цілих і 10/11 частин вина і 9 цілих і 1/11 частин води, що в сумі також становить 100 частин рідини
6. Обмін рівноцінний
А тепер правильне рішення даного завдання.
Не варто рахувати частини і як слід розмішувати. Які б маніпуляції не відбувалися, весь вилучений обсяг замінюється таким же, що прийшов. І все.
Бонус. Завдання, які швидко і правильно вирішуються. Уявляю вам задоволення вирішити їх самостійно.
1. Минулої п'ятниці дівчинка Маша вперше пішла в клуб і познайомилася з 20 новими людьми. Цієї п'ятниці вона ходила в клуб, зустріла 10 старих знайомих і з 10 новими людьми познайомилася. Зі скількома новими людьми дівчинка Маша найбільш ймовірно познайомиться в наступну п'ятницю?
2. Випуклий багатогранник відкидає п'ятикутну тінь. Яке мінімальне число граней у нього?
3. Трикутник, у якого немає тупих кутів, назвемо дотепним. Як у тривимірному просторі розмістити дванадцять точок, щоб вони були вершинами найбільшого числа гострокутних трикутників? Скільки гострокутних трикутників вийде?
4. Вам і ще одній незнайомій людині пропонують загадати натуральне число. Якщо ваші числа збігаються, то ви отримуєте приз. Яке число ви загадаєте?
5. У коробці з печивами знаходиться вкладиш. Щоб виграти, потрібно зібрати повну колекцію різних вкладишів, для цього середній споживач купує 72 коробки. Скільки різних вкладишів у повній колекції?
6. Якої товщини повинна бути монета (в радіусах), щоб ймовірність падіння на ребро дорівнювала ймовірності випадання орла?